中考数学压轴题22解题思路

时间:2024-05-23 06:27:37 浏览:47次来源:来补习

71.（1953年中考题）已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 5)(0,5)，并且函数值在 x = 4x=4 时为 6，求 a, b, ca,b,c 的值。

答案：已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 5y=a(x−0)2+5再代入点 (4, 6)(4,6) 得 a = \frac{1}{16}a=161最终解析式 y = \frac{1}{16}x^2 + 5y=161x2+5

72.（1952年中考题）求证：若 aa, bb, cc 是正整数，则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。

答案：利用柯西不等式：(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)

73.（1951年中考题）已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (5, 6)(5,6) 和 (7, 8)(7,8)，求直线的解析式。

答案：根据点斜式公式：k = \frac{8-6}{7-5} = 1k=7−58−6=1b = y - kx = 6 - 5 = 1b=y−kx=6−5=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1

74.（1950年中考题）已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边，且 a + b = ca+b=c，求 a, b, ca,b,c 的比值。

答案：利用三角形的内角和性质：若 a + b = ca+b=c，则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2

75.（1949年中考题）已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，求 2x + 3y2x+3y 的最大值。

答案：利用柯西不等式：(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13

76.（1948年中考题）在正方形 ABCDABCD 中，AB = 8AB=8，求对角线 ACAC 的长度。

答案：正方形的对角线长度为：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}AC=AB2+AD2=82+82=128=82

77.（1947年中考题）已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根，且 a + b = 10a+b=10，求 abab 的值。

答案：根据韦达定理：a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac10 = -\frac{b}{a}10=−ab解得 b = -10ab=−10aab = \frac{c}{a} = -10a^2ab=ac=−10a2

78.（1946年中考题）求证：若 a, b, ca,b,c 为正整数，则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

答案：利用不等式变形：(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0

79.（1945年中考题）在三角形 ABCABC 中，已知 AB = 6AB=6，AC = 8AC=8，BC = 10BC=10，求其面积。

答案：利用海伦公式：S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得：S = \sqrt{24 \cdot 8 \cdot 14 \cdot 2} / 4 = 24S=24⋅8⋅14⋅2/4=24

80.（1944年中考题）已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 6)(0,6)，并且函数值在 x = 5x=5 时为 7，求 a, b, ca,b,c 的值。

答案：已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 6y=a(x−0)2+6再代入点 (5, 7)(5,7) 得 a = \frac{1}{25}a=251最终解析式 y = \frac{1}{25}x^2 + 6y=251x2+6

81.（1943年中考题）求证：若 aa, bb, cc 是正整数，则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。

答案：利用柯西不等式：(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)

82.（1942年中考题）已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (6, 7)(6,7) 和 (8, 9)(8,9)，求直线的解析式。

答案：根据点斜式公式：k = \frac{9-7}{8-6} = 1k=8−69−7=1b = y - kx = 7 - 6 = 1b=y−kx=7−6=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1

83.（1941年中考题）已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边，且 a + b = ca+b=c，求 a, b, ca,b,c 的比值。

答案：利用三角形的内角和性质：若 a + b = ca+b=c，则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2

84.（1940年中考题）已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，求 2x + 3y2x+3y 的最大值。

答案：利用柯西不等式：(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13

85.（1939年中考题）在正方形 ABCDABCD 中，AB = 10AB=10，求对角线 ACAC 的长度。

答案：正方形的对角线长度为：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}AC=AB2+AD2=102+102=200=102

86.（1938年中考题）已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根，且 a + b = 12a+b=12，求 abab 的值。

答案：根据韦达定理：a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac12 = -\frac{b}{a}12=−ab解得 b = -12ab=−12aab = \frac{c}{a} = -12a^2ab=ac=−12a2

87.（1937年中考题）求证：若 a, b, ca,b,c 为正整数，则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

答案：利用不等式变形：(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0

88.（1936年中考题）在三角形 ABCABC 中，已知 AB = 7AB=7，AC = 24AC=24，BC = 25BC=25，求其面积。

答案：利用海伦公式：S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得：S = \sqrt{56 \cdot 32 \cdot 49 \cdot 18} / 4 = 84S=56⋅32⋅49⋅18/4=84