中考数学压轴题100题精选免费
54.（1970年中考题） 求证：若 aa, bb, cc 是正整数，则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。
答案：利用柯西不等式：(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)
55.（1969年中考题） 已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (1, 2)(1,2) 和 (3, 4)(3,4)，求直线的解析式。
答案：根据点斜式公式：k = \frac{4-2}{3-1} = 1k=3−14−2=1b = y - kx = 2 - 1 = 1b=y−kx=2−1=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1
56.（1968年中考题） 已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边，且 a + b = ca+b=c，求 a, b, ca,b,c 的比值。
答案：利用三角形的内角和性质：若 a + b = ca+b=c，则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2
57.（1967年中考题） 已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，求 2x + 3y2x+3y 的最大值。
答案：利用柯西不等式：(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13
58.（1966年中考题） 在正方形 ABCDABCD 中，AB = 4AB=4，求对角线 ACAC 的长度。
答案：正方形的对角线长度为：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}AC=AB2+AD2=42+42=32=42
59.（1965年中考题） 已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根，且 a + b = 2a+b=2，求 abab 的值。
答案：根据韦达定理：a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac2 = -\frac{b}{a}2=−ab解得 b = -2ab=−2aab = \frac{c}{a} = -2a^2ab=ac=−2a2
60.（1964年中考题） 求证：若 a, b, ca,b,c 为正整数，则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)
答案：利用不等式变形：(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0
61.（1963年中考题） 在三角形 ABCABC 中，已知 AB = 8AB=8，AC = 15AC=15，BC = 17BC=17，求其面积。
答案：利用海伦公式：S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得：S = \sqrt{40 \cdot 24 \cdot 32 \cdot 10} / 4 = 60S=40⋅24⋅32⋅10/4=60
62.（1962年中考题） 已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 4)(0,4)，并且函数值在 x = 3x=3 时为 5，求 a, b, ca,b,c 的值。
答案：已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 4y=a(x−0)2+4再代入点 (3, 5)(3,5) 得 a = \frac{1}{9}a=91最终解析式 y = \frac{1}{9}x^2 + 4y=91x2+4
63.（1961年中考题） 求证：若 aa, bb, cc 是正整数，则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。
答案：利用柯西不等式：(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)
64.（1960年中考题） 已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (4, 5)(4,5) 和 (6, 7)(6,7)，求直线的解析式。
答案：根据点斜式公式：k = \frac{7-5}{6-4} = 1k=6−47−5=1b = y - kx = 5 - 4 = 1b=y−kx=5−4=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1
65.（1959年中考题） 已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边，且 a + b = ca+b=c，求 a, b, ca,b,c 的比值。
答案：利用三角形的内角和性质：若 a + b = ca+b=c，则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2
66.（1958年中考题） 已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，求 2x + 3y2x+3y 的最大值。
答案：利用柯西不等式：(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13
67.（1957年中考题） 在正方形 ABCDABCD 中，AB = 9AB=9，求对角线 ACAC 的长度。
答案：正方形的对角线长度为：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}AC=AB2+AD2=92+92=162=92
68.（1956年中考题） 已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根，且 a + b = 7a+b=7，求 abab 的值。
答案：根据韦达定理：a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac7 = -\frac{b}{a}7=−ab解得 b = -7ab=−7aab = \frac{c}{a} = -7a^2ab=ac=−7a2
69.（1955年中考题） 求证：若 a, b, ca,b,c 为正整数，则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)
答案：利用不等式变形：(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0
70.（1954年中考题） 在三角形 ABCABC 中，已知 AB = 9AB=9，AC = 12AC=12，BC = 15BC=15，求其面积。
答案：利用海伦公式：S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得：S = \sqrt{36 \cdot 18 \cdot 27 \cdot 3} / 4 = 54S=36⋅18⋅27⋅3/4=54
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