全国超难变态中考数学压轴题最新整理

时间:2024-05-23 06:20:54 浏览:56次来源:来补习

37.（1987年中考题）已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (2, 3)(2,3) 和 (4, 5)(4,5)，求直线的解析式。

答案：根据点斜式公式：k = \frac{5-3}{4-2} = 1k=4−25−3=1b = y - kx = 3 - 2 = 1b=y−kx=3−2=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1

38.（1986年中考题）已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边，且 a + b = ca+b=c，求 a, b, ca,b,c 的比值。

答案：利用三角形的内角和性质：若 a + b = ca+b=c，则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2

39.（1985年中考题）已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，求 2x + 3y2x+3y 的最大值。

答案：利用柯西不等式：(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13

40.（1984年中考题）在正方形 ABCDABCD 中，AB = 7AB=7，求对角线 ACAC 的长度。

答案：正方形的对角线长度为：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}AC=AB2+AD2=72+72=98=72

41.（1983年中考题）已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根，且 a + b = 5a+b=5，求 abab 的值。

答案：根据韦达定理：a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac5 = -\frac{b}{a}5=−ab解得 b = -5ab=−5aab = \frac{c}{a} = -5a^2ab=ac=−5a2

42.（1982年中考题）求证：若 a, b, ca,b,c 为正整数，则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

答案：利用不等式变形：(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0

43.（1981年中考题）在三角形 ABCABC 中，已知 AB = 5AB=5，AC = 12AC=12，BC = 13BC=13，求其面积。

答案：利用海伦公式：S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得：S = \sqrt{30 \cdot 18 \cdot 13 \cdot 5} / 4 = 30S=30⋅18⋅13⋅5/4=30

44.（1980年中考题）已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 2)(0,2)，并且函数值在 x = 1x=1 时为 3，求 a, b, ca,b,c 的值。

答案：已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 2y=a(x−0)2+2再代入点 (1, 3)(1,3) 得 a = 1a=1最终解析式 y = x^2 + 2y=x2+2

45.（1979年中考题）求证：若 aa, bb, cc 是正整数，则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。

答案：利用柯西不等式：(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)

46.（1978年中考题）已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (3, 4)(3,4) 和 (5, 6)(5,6)，求直线的解析式。

答案：根据点斜式公式：k = \frac{6-4}{5-3} = 1k=5−36−4=1b = y - kx = 4 - 3 = 1b=y−kx=4−3=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1

47.（1977年中考题）已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边，且 a + b = ca+b=c，求 a, b, ca,b,c 的比值。

答案：利用三角形的内角和性质：若 a + b = ca+b=c，则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2

48.（1976年中考题）已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，求 2x + 3y2x+3y 的最大值。

答案：利用柯西不等式：(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13

49.（1975年中考题）在正方形 ABCDABCD 中，AB = 6AB=6，求对角线 ACAC 的长度。

答案：正方形的对角线长度为：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}AC=AB2+AD2=62+62=72=62

50.（1974年中考题）已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根，且 a + b = 6a+b=6，求 abab 的值。

答案：根据韦达定理：a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac6 = -\frac{b}{a}6=−ab解得 b = -6ab=−6aab = \frac{c}{a} = -6a^2ab=ac=−6a2

51.（1973年中考题）求证：若 a, b, ca,b,c 为正整数，则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

答案：利用不等式变形：(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0

52.（1972年中考题）在三角形 ABCABC 中，已知 AB = 7AB=7，AC = 24AC=24，BC = 25BC=25，求其面积。

答案：利用海伦公式：S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得：S = \sqrt{56 \cdot 32 \cdot 49 \cdot 18} / 4 = 84S=56⋅32⋅49⋅18/4=84

53.（1971年中考题）已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 3)(0,3)，并且函数值在 x = 2x=2 时为 4，求 a, b, ca,b,c 的值。

答案：已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 3y=a(x−0)2+3再代入点 (2, 4)(2,4) 得 a = 0.5a=0.5最终解析式 y = 0.5x^2 + 3y=0.5x2+3