全国超难变态中考数学压轴题最新整理
37.(1987年中考题) 已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (2, 3)(2,3) 和 (4, 5)(4,5),求直线的解析式。
答案:根据点斜式公式:k = \frac{5-3}{4-2} = 1k=4−25−3=1b = y - kx = 3 - 2 = 1b=y−kx=3−2=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1
38.(1986年中考题) 已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边,且 a + b = ca+b=c,求 a, b, ca,b,c 的比值。
答案:利用三角形的内角和性质:若 a + b = ca+b=c,则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2
39.(1985年中考题) 已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1,求 2x + 3y2x+3y 的最大值。
答案:利用柯西不等式:(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13
40.(1984年中考题) 在正方形 ABCDABCD 中,AB = 7AB=7,求对角线 ACAC 的长度。
答案:正方形的对角线长度为:AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}AC=AB2+AD2=72+72=98=72
41.(1983年中考题) 已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根,且 a + b = 5a+b=5,求 abab 的值。
答案:根据韦达定理:a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac5 = -\frac{b}{a}5=−ab解得 b = -5ab=−5aab = \frac{c}{a} = -5a^2ab=ac=−5a2
42.(1982年中考题) 求证:若 a, b, ca,b,c 为正整数,则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)
答案:利用不等式变形:(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0
43.(1981年中考题) 在三角形 ABCABC 中,已知 AB = 5AB=5,AC = 12AC=12,BC = 13BC=13,求其面积。
答案:利用海伦公式:S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得:S = \sqrt{30 \cdot 18 \cdot 13 \cdot 5} / 4 = 30S=30⋅18⋅13⋅5/4=30
44.(1980年中考题) 已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 2)(0,2),并且函数值在 x = 1x=1 时为 3,求 a, b, ca,b,c 的值。
答案:已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 2y=a(x−0)2+2再代入点 (1, 3)(1,3) 得 a = 1a=1最终解析式 y = x^2 + 2y=x2+2
45.(1979年中考题) 求证:若 aa, bb, cc 是正整数,则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。
答案:利用柯西不等式:(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)
46.(1978年中考题) 已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (3, 4)(3,4) 和 (5, 6)(5,6),求直线的解析式。
答案:根据点斜式公式:k = \frac{6-4}{5-3} = 1k=5−36−4=1b = y - kx = 4 - 3 = 1b=y−kx=4−3=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1
47.(1977年中考题) 已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边,且 a + b = ca+b=c,求 a, b, ca,b,c 的比值。
答案:利用三角形的内角和性质:若 a + b = ca+b=c,则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2
48.(1976年中考题) 已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1,求 2x + 3y2x+3y 的最大值。
答案:利用柯西不等式:(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13
49.(1975年中考题) 在正方形 ABCDABCD 中,AB = 6AB=6,求对角线 ACAC 的长度。
答案:正方形的对角线长度为:AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}AC=AB2+AD2=62+62=72=62
50.(1974年中考题) 已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根,且 a + b = 6a+b=6,求 abab 的值。
答案:根据韦达定理:a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac6 = -\frac{b}{a}6=−ab解得 b = -6ab=−6aab = \frac{c}{a} = -6a^2ab=ac=−6a2
51.(1973年中考题) 求证:若 a, b, ca,b,c 为正整数,则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)
答案:利用不等式变形:(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0
52.(1972年中考题) 在三角形 ABCABC 中,已知 AB = 7AB=7,AC = 24AC=24,BC = 25BC=25,求其面积。
答案:利用海伦公式:S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得:S = \sqrt{56 \cdot 32 \cdot 49 \cdot 18} / 4 = 84S=56⋅32⋅49⋅18/4=84
53.(1971年中考题) 已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 3)(0,3),并且函数值在 x = 2x=2 时为 4,求 a, b, ca,b,c 的值。
答案:已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 3y=a(x−0)2+3再代入点 (2, 4)(2,4) 得 a = 0.5a=0.5最终解析式 y = 0.5x^2 + 3y=0.5x2+3
衡水中学,五中,志臻,二中优秀在职教师团队,8年以上授课经验
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