初三数学压轴题100题(21-36)含真题与答案
21.(2003年中考题) 在四边形 ABCDABCD 中,已知 AB = 3AB=3,BC = 4BC=4,CD = 5CD=5,DA = 6DA=6,且对角线 ACAC 垂直于对角线 BDBD,求 ACAC 和 BDBD 的长度。
答案:根据勾股定理和四边形对角线垂直的性质,可以计算得到:AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}AC=AB2+AD2=32+62=45=35BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}BD=BC2+CD2=42+52=41
22.(2002年中考题) 已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 4x2+y2=4,求 x + yx+y 的最大值。
答案:利用柯西不等式:(x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) = 8(x+y)2≤2(x2+y2)=8所以 x + y \leq \sqrt{8} = 2\sqrt{2}x+y≤8=22
23.(2001年中考题) 已知抛物线 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 经过点 (1, 1)(1,1) 和 (-1, 0)(−1,0),求这个抛物线的解析式。
答案:将点代入方程得到两个方程,联立解得:a(1)^2 + b(1) + c = 1a(1)2+b(1)+c=1a(-1)^2 + b(-1) + c = 0a(−1)2+b(−1)+c=0解得 a = 0.5a=0.5,b = -0.5b=−0.5,c = 0.5c=0.5即 y = 0.5x^2 - 0.5x + 0.5y=0.5x2−0.5x+0.5
24.(2000年中考题) 求证:若 aa 和 bb 为任意正整数,则 a^2 + b^2 \geq 2aba2+b2≥2ab。
答案:根据不等式变形:(a - b)^2 \geq 0(a−b)2≥0即 a^2 + b^2 - 2ab \geq 0a2+b2−2ab≥0所以 a^2 + b^2 \geq 2aba2+b2≥2ab
25.(1999年中考题) 在直角三角形 ABCABC 中,已知 AB = 3AB=3,BC = 4BC=4,求 ACAC 的长度。
答案:根据勾股定理:AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5AC=AB2+BC2=32+42=25=5
26.(1998年中考题) 已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (2, -1)(2,−1),并且函数值在 x = 3x=3 时为 2,求 a, b, ca,b,c 的值。
答案:已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-2)^2 - 1y=a(x−2)2−1再代入点 (3, 2)(3,2) 得 a = 3a=3最终解析式 y = 3(x-2)^2 - 1y=3(x−2)2−1
27.(1997年中考题) 求证:若 aa, bb, cc 是正整数,则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。
答案:利用柯西不等式:(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)
28.(1996年中考题) 已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (2, 3)(2,3) 和 (4, 5)(4,5),求直线的解析式。
答案:根据点斜式公式:k = \frac{5-3}{4-2} = 1k=4−25−3=1b = y - kx = 3 - 2 = 1b=y−kx=3−2=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1
29.(1995年中考题) 已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边,且 a + b = ca+b=c,求 a, b, ca,b,c 的比值。
答案:利用三角形的内角和性质:若 a + b = ca+b=c,则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2
30.(1994年中考题) 已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1,求 2x + 3y2x+3y 的最大值。
答案:利用柯西不等式:(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13
31.(1993年中考题) 在正方形 ABCDABCD 中,AB = 5AB=5,求对角线 ACAC 的长度。
答案:正方形的对角线长度为:AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}AC=AB2+AD2=52+52=50=52
32.(1992年中考题) 已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根,且 a + b = 4a+b=4,求 abab 的值。
答案:根据韦达定理:a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac4 = -\frac{b}{a}4=−ab解得 b = -4ab=−4aab = \frac{c}{a} = -4a^2ab=ac=−4a2
33.(1991年中考题) 求证:若 a, b, ca,b,c 为正整数,则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)
答案:利用不等式变形:(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0
34.(1990年中考题) 在三角形 ABCABC 中,已知 AB = 6AB=6,AC = 8AC=8,BC = 10BC=10,求其面积。
答案:利用海伦公式:S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得:S = \sqrt{24 \cdot 8 \cdot 14 \cdot 10} / 4 = 24S=24⋅8⋅14⋅10/4=24
35.(1989年中考题) 已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 1)(0,1),并且函数值在 x = 1x=1 时为 2,求 a, b, ca,b,c 的值。
答案:已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 1y=a(x−0)2+1再代入点 (1, 2)(1,2) 得 a = 1a=1最终解析式 y = x^2 + 1y=x2+1
36.(1988年中考题) 求证:若 aa, bb, cc 是正整数,则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。
答案:利用柯西不等式:(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)
衡水中学,五中,志臻,二中优秀在职教师团队,8年以上授课经验
![](https://www.laibuxi.com/images/xv1.png)
为孩子提供卓越个性化辅导服务。
助力取得优异成绩。v:xueyou169
猜你喜欢