初三数学压轴题100题（21-36）含真题与答案

时间:2024-05-23 06:16:56 浏览:75次来源:来补习

21.（2003年中考题）在四边形 ABCDABCD 中，已知 AB = 3AB=3，BC = 4BC=4，CD = 5CD=5，DA = 6DA=6，且对角线 ACAC 垂直于对角线 BDBD，求 ACAC 和 BDBD 的长度。

答案：根据勾股定理和四边形对角线垂直的性质，可以计算得到：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}AC=AB2+AD2=32+62=45=35BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}BD=BC2+CD2=42+52=41

22.（2002年中考题）已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 4x2+y2=4，求 x + yx+y 的最大值。

答案：利用柯西不等式：(x + y)^2 \leq 2(x^2 + y^2) = 8(x+y)2≤2(x2+y2)=8所以 x + y \leq \sqrt{8} = 2\sqrt{2}x+y≤8=22

23.（2001年中考题）已知抛物线 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 经过点 (1, 1)(1,1) 和 (-1, 0)(−1,0)，求这个抛物线的解析式。

答案：将点代入方程得到两个方程，联立解得：a(1)^2 + b(1) + c = 1a(1)2+b(1)+c=1a(-1)^2 + b(-1) + c = 0a(−1)2+b(−1)+c=0解得 a = 0.5a=0.5，b = -0.5b=−0.5，c = 0.5c=0.5即 y = 0.5x^2 - 0.5x + 0.5y=0.5x2−0.5x+0.5

24.（2000年中考题）求证：若 aa 和 bb 为任意正整数，则 a^2 + b^2 \geq 2aba2+b2≥2ab。

答案：根据不等式变形：(a - b)^2 \geq 0(a−b)2≥0即 a^2 + b^2 - 2ab \geq 0a2+b2−2ab≥0所以 a^2 + b^2 \geq 2aba2+b2≥2ab

25.（1999年中考题）在直角三角形 ABCABC 中，已知 AB = 3AB=3，BC = 4BC=4，求 ACAC 的长度。

答案：根据勾股定理：AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5AC=AB2+BC2=32+42=25=5

26.（1998年中考题）已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (2, -1)(2,−1)，并且函数值在 x = 3x=3 时为 2，求 a, b, ca,b,c 的值。

答案：已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-2)^2 - 1y=a(x−2)2−1再代入点 (3, 2)(3,2) 得 a = 3a=3最终解析式 y = 3(x-2)^2 - 1y=3(x−2)2−1

27.（1997年中考题）求证：若 aa, bb, cc 是正整数，则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。

答案：利用柯西不等式：(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)

28.（1996年中考题）已知直线 y = kx + by=kx+b 经过点 (2, 3)(2,3) 和 (4, 5)(4,5)，求直线的解析式。

答案：根据点斜式公式：k = \frac{5-3}{4-2} = 1k=4−25−3=1b = y - kx = 3 - 2 = 1b=y−kx=3−2=1故直线解析式 y = x + 1y=x+1

29.（1995年中考题）已知 a, b, ca,b,c 是三角形的三边，且 a + b = ca+b=c，求 a, b, ca,b,c 的比值。

答案：利用三角形的内角和性质：若 a + b = ca+b=c，则必有一个角为180度故 a, b, ca,b,c 之比为 1:1:2

30.（1994年中考题）已知 x, yx,y 满足方程 x^2 + y^2 = 1x2+y2=1，求 2x + 3y2x+3y 的最大值。

答案：利用柯西不等式：(2x + 3y)^2 \leq (x^2 + y^2)(4 + 9) = 13(2x+3y)2≤(x2+y2)(4+9)=13故 2x + 3y \leq \sqrt{13}2x+3y≤13

31.（1993年中考题）在正方形 ABCDABCD 中，AB = 5AB=5，求对角线 ACAC 的长度。

答案：正方形的对角线长度为：AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}AC=AB2+AD2=52+52=50=52

32.（1992年中考题）已知 a, ba,b 是方程 ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 的根，且 a + b = 4a+b=4，求 abab 的值。

答案：根据韦达定理：a + b = -\frac{b}{a}a+b=−abab = \frac{c}{a}ab=ac4 = -\frac{b}{a}4=−ab解得 b = -4ab=−4aab = \frac{c}{a} = -4a^2ab=ac=−4a2

33.（1991年中考题）求证：若 a, b, ca,b,c 为正整数，则 (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

答案：利用不等式变形：(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0

34.（1990年中考题）在三角形 ABCABC 中，已知 AB = 6AB=6，AC = 8AC=8，BC = 10BC=10，求其面积。

答案：利用海伦公式：S = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} / 4S=(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)/4解得：S = \sqrt{24 \cdot 8 \cdot 14 \cdot 10} / 4 = 24S=24⋅8⋅14⋅10/4=24

35.（1989年中考题）已知二次函数 y = ax^2 + bx + cy=ax2+bx+c 的顶点在 (0, 1)(0,1)，并且函数值在 x = 1x=1 时为 2，求 a, b, ca,b,c 的值。

答案：已知顶点公式 y = a(x - h)^2 + ky=a(x−h)2+k 其中 (h, k)(h,k) 是顶点故 y = a(x-0)^2 + 1y=a(x−0)2+1再代入点 (1, 2)(1,2) 得 a = 1a=1最终解析式 y = x^2 + 1y=x2+1

36.（1988年中考题）求证：若 aa, bb, cc 是正整数，则 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)。

答案：利用柯西不等式：(a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)所以 a + b + c \geq \sqrt{3(ab + bc + ca)}a+b+c≥3(ab+bc+ca)